Корректно: Это никуда не денешь.
Сочетание в никуда не ошибка. Оно зафиксировано словарями русского языка и означает 'без определенного направления, в неизвестность или в безвестность', например: эти мысли заведут тебя в никуда, дорога в никуда (наряду с возможным дорога никуда).
Верно: как бы вам ни хотелось, не выкладывайте никуда.
Возможны оба варианта.
Слова никуда не пойдет можно заключить в кавычки – на основании правила о выделении кавычками чужих слов (прямой речи, цитат). Но в данном случае кавычки можно и опустить. Окончательное решение принимает автор текста.
В принципе такой оборот речи возможен.
Такие сочетания возможны.